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Proof step 49 from proof rem-stays-reachable-aux1 (previous step)

path(H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ' + x0 + H[(r1 ' + x).last].nxt ', H), H[(r1 ' + x).last].nxt ∈ H, (r1 ' + x).last ∈ H, path(H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ' + x0 + H[(r1 ' + x).last].nxt ' + r1 ' + x, H), (r1 ' + x).last = r1 ∨ (r1 ' + x).last ∈ x ⊦ (r1 ' + x).last = H[(r1 ' + x).last].nxt, (r1 ' + x).last = H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt, H[(r1 ' + x).last].nxt = null, H[(r1 ' + x).last].nxt = H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt, dups((r1 ' + x).butlast), dups(x0), H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ∈ (r1 ' + x).butlast, H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ∈ x0, (r1 ' + x).last ∈ (r1 ' + x).butlast, dups(x0 + (r1 ' + x).butlast), H[(r1 ' + x).last].nxt ∈ (r1 ' + x).butlast, H[(r1 ' + x).last].nxt ∈ x0, (r1 ' + x).last ∈ x0

User applied rule insert rewrite lemma

And obtained the following new goals

Proof step 50:
⊦ x0 ≠ [] → (x1 + x0).last = x0.last
Proof step 51:
¬ x ≠ [], path(H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ' + x0 + H[(r1 ' + x).last].nxt ', H), H[(r1 ' + x).last].nxt ∈ H, (r1 ' + x).last ∈ H, path(H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ' + x0 + H[(r1 ' + x).last].nxt ' + r1 ' + x, H), (r1 ' + x).last = r1 ∨ (r1 ' + x).last ∈ x ⊦ (r1 ' + x).last = H[(r1 ' + x).last].nxt, (r1 ' + x).last = H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt, H[(r1 ' + x).last].nxt = null, H[(r1 ' + x).last].nxt = H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt, dups((r1 ' + x).butlast), dups(x0), H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ∈ (r1 ' + x).butlast, H[H[(r1 ' + x).last].nxt].nxt ∈ x0, (r1 ' + x).last ∈ (r1 ' + x).butlast, dups(x0 + (r1 ' + x).butlast), H[(r1 ' + x).last].nxt ∈ (r1 ' + x).butlast, H[(r1 ' + x).last].nxt ∈ x0, (r1 ' + x).last ∈ x0
Proof step 54:
x ≠ [], path(H[H[x.last].nxt].nxt ' + x0 + H[x.last].nxt ', H), H[x.last].nxt ∈ H, x.last ∈ H, path(H[H[x.last].nxt].nxt ' + x0 + H[x.last].nxt ' + r1 ' + x, H), x.last = r1 ∨ x.last ∈ x ⊦ x.last = H[x.last].nxt, x.last = H[H[x.last].nxt].nxt, H[x.last].nxt = null, H[x.last].nxt = H[H[x.last].nxt].nxt, dups((r1 ' + x).butlast), dups(x0), H[H[x.last].nxt].nxt ∈ (r1 ' + x).butlast, H[H[x.last].nxt].nxt ∈ x0, x.last ∈ (r1 ' + x).butlast, dups(x0 + (r1 ' + x).butlast), H[x.last].nxt ∈ (r1 ' + x).butlast, H[x.last].nxt ∈ x0, x.last ∈ x0

Rule argument

spec: list-last inst: reflist name: lapp seq: ⊦ x0 ≠ [] → (x1 + x0).last = x0.last subst: [x0, x1] → [x, r1 '] flags: rewrite

Additional information

Used terms: x, r1 '