step-L6-L71proof-tree.png7901230145118511451145214511053265106552651025652598585259459525905105258651172582513272578513374574513574570513674566513774562513870574513434582512345785136657451156857051176856651187056251207055851217055451227455051277454651287654251307653851317254251296855051237054651266654651246654251256656251196457051162257452134570550345665514056255340558554525545565255055762546588625425896853859168534592745305112745265113745225114645305936452659470522510570518510672514510872510510972565110725251116851451075852259562518598645145100645105101665651046256510262525103605145995651859656514597565385904254655842542559505385815253458352530584525265855252258652518587485345823453856034534561405305684652657546522576485185784851457948510580445185773852657038522571405185734051457436518572345265693053056230526563325225653251856632514567285225642855455528562552125705221256652312562524165585261655452720550534205465352054253622538538225345392253054024526542245225432451854424514545265105482656549225105462256547205265411853853712550528125465291454253214538533105425301053853110558525457451465705166566517856252045625184558519257051525985725106541stepSystem applied rule normalize⊦ ( ls.np ∈ ls.lspmx ∧ ( alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf) ∧ disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf), gs.gspmx) ∧ gs.y + (U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x ∧ U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx ⊆ gs.spmx ∧ # gs.y = gs.r ∧ okspmx(gs.spmx, gs.r, # gs.x)) ∧ gs.ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx) ∧ pre(gs, ls, L6, a) ∧ pcstepf(gs, ls, L6, a) = L7 → ( alldisjointp(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∧ disjointp(U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf), gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx) ∧ gstepf(gs, ls, L6, a).y + (U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∪ gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx ).toMatrix (gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x ) * gstepf(gs, ls, L6, a).x = gstepf(gs, ls, L6, a).spmx.toMatrix(gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x) * gstepf(gs, ls, L6, a).x ∧ U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∪ gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx ⊆ gstepf(gs, ls, L6, a).spmx ∧ # gstepf(gs, ls, L6, a).y = gstepf(gs, ls, L6, a).r ∧ okspmx(gstepf(gs, ls, L6, a).spmx, gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x)) ∧ lstepf(gs, ls, L6, a).np ∈ lstepf(gs, ls, L6, a).lspmx ∧ gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf(lstepf(gs, ls, L6, a).tid) = lstepf(gs, ls, L6, a).lspmx -- lstepf(gs, ls, L6, a).np2# gs.y = gs.r, gs.y + (U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x, gs.ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, pcstepf(gs, ls, L6, a) = L7, alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf), gs.gspmx), okspmx(gs.spmx, gs.r, # gs.x), pre(gs, ls, L6, a), ls.np ∈ ls.lspmx, U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx ⊆ gs.spmx ⊦ ( alldisjointp(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∧ disjointp(U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf), gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx) ∧ gstepf(gs, ls, L6, a).y + (U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∪ gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx ).toMatrix (gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x ) * gstepf(gs, ls, L6, a).x = gstepf(gs, ls, L6, a).spmx.toMatrix(gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x) * gstepf(gs, ls, L6, a).x ∧ U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∪ gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx ⊆ gstepf(gs, ls, L6, a).spmx ∧ # gstepf(gs, ls, L6, a).y = gstepf(gs, ls, L6, a).r ∧ okspmx(gstepf(gs, ls, L6, a).spmx, gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x)) ∧ lstepf(gs, ls, L6, a).np ∈ lstepf(gs, ls, L6, a).lspmx ∧ gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf(lstepf(gs, ls, L6, a).tid) = lstepf(gs, ls, L6, a).lspmx -- lstepf(gs, ls, L6, a).np2stepHeuristic simplifier applied rule simplifier# gs.y = gs.r, gs.y + (U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x, gs.ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, pcstepf(gs, ls, L6, a) = L7, alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf), gs.gspmx), okspmx(gs.spmx, gs.r, # gs.x), pre(gs, ls, L6, a), ls.np ∈ ls.lspmx, U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx ⊆ gs.spmx ⊦ ( alldisjointp(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∧ disjointp(U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf), gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx) ∧ gstepf(gs, ls, L6, a).y + (U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∪ gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx ).toMatrix (gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x ) * gstepf(gs, ls, L6, a).x = gstepf(gs, ls, L6, a).spmx.toMatrix(gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x) * gstepf(gs, ls, L6, a).x ∧ U(alltids, gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf) ∪ gstepf(gs, ls, L6, a).gspmx ⊆ gstepf(gs, ls, L6, a).spmx ∧ # gstepf(gs, ls, L6, a).y = gstepf(gs, ls, L6, a).r ∧ okspmx(gstepf(gs, ls, L6, a).spmx, gstepf(gs, ls, L6, a).r, # gstepf(gs, ls, L6, a).x)) ∧ lstepf(gs, ls, L6, a).np ∈ lstepf(gs, ls, L6, a).lspmx ∧ gstepf(gs, ls, L6, a).ghostlspmxf(lstepf(gs, ls, L6, a).tid) = lstepf(gs, ls, L6, a).lspmx -- lstepf(gs, ls, L6, a).np3# gs.y = gs.r, gs.y + (U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x, gs.ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, ls.val = gs.y[ls.np.r], alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf), gs.gspmx), okspmx(gs.spmx, gs.r, # gs.x), ls.np ∈ ls.lspmx, gs.gspmx ⊆ gs.spmx, U(alltids, gs.ghostlspmxf) ⊆ gs.spmx ⊦ alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∧ disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)), gs.gspmx) ∧ gs.y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * gs.x[ls.np.c]] + (U(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x ∧ U(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ⊆ gs.spmxUsed simplifier rules: pcstepf-L6: ⊦ pcstepf(gs, ls, L6, a) = (ls.val = gs.y[ls.np.r] ⊃ L7;L3); disj-16: ⊦ L3 ≠ L7; pre-L6: ⊦ pre(gs, ls, L6, a) ↔ a = τ; updsel-30: ⊦ (gs.ghostlspmxf:= ghostlspmxf).gspmx = gs.gspmx; updsel-29: ⊦ (gs.y:= x0).gspmx = gs.gspmx; updsel-48: ⊦ (gs.ghostlspmxf:= ghostlspmxf).y = gs.y; updsel-47: ⊦ (gs.y:= x0).y = x0; updsel-24: ⊦ (gs.ghostlspmxf:= ghostlspmxf).spmx = gs.spmx; updsel-23: ⊦ (gs.y:= x0).spmx = gs.spmx; updsel-36: ⊦ (gs.ghostlspmxf:= ghostlspmxf).r = gs.r; updsel-35: ⊦ (gs.y:= x0).r = gs.r; updsel-42: ⊦ (gs.ghostlspmxf:= ghostlspmxf).x = gs.x; updsel-41: ⊦ (gs.y:= x0).x = gs.x; gstepf-L6: ⊦ gstepf(gs, ls, L6, a) = (ls.val = gs.y[ls.np.r] ⊃ (gs.y:= gs.y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * gs.x[ls.np.c]]) .ghostlspmxf:= gs.ghostlspmxf(ls.tid; gs.ghostlspmxf(ls.tid) -- ls.np) ;gs ); updsel-54: ⊦ (gs.ghostlspmxf:= ghostlspmxf).ghostlspmxf = ghostlspmxf; lstepf-L6: ⊦ lstepf(gs, ls, L6, a) = ls; ⊦ # ar[n, a] = # ar; (s) ⊦ disjointp(spmx1, spmx2) → (spmx1 ∪ spmx2 ⊆ spmx ↔ spmx1 ⊆ spmx ∧ spmx2 ⊆ spmx); (ws)3stepHeuristic elimination applied rule apply elim lemma# gs.y = gs.r, gs.y + (U(alltids, gs.ghostlspmxf) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x, gs.ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, ls.val = gs.y[ls.np.r], alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf), gs.gspmx), okspmx(gs.spmx, gs.r, # gs.x), ls.np ∈ ls.lspmx, gs.gspmx ⊆ gs.spmx, U(alltids, gs.ghostlspmxf) ⊆ gs.spmx ⊦ alldisjointp(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∧ disjointp(U(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)), gs.gspmx) ∧ gs.y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * gs.x[ls.np.c]] + (U(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∪ gs.gspmx).toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x = gs.spmx.toMatrix(gs.r, # gs.x) * gs.x ∧ U(alltids, gs.ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ⊆ gs.spmx4⊦ ((((spmx = gs.spmx ∧ gspmx = gs.gspmx) ∧ r = gs.r) ∧ x = gs.x) ∧ y = gs.y) ∧ ghostlspmxf = gs.ghostlspmxf ↔ gs = mkgs(spmx, gspmx, r, x, y, ghostlspmxf)5# y = r, y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(r, # x) * x = spmx.toMatrix(r, # x) * x, ls.val = y[ls.np.r], ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, gs = mkgs(spmx, gspmx, r, x, y, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, r, # x), ls.np ∈ ls.lspmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)), gspmx) ∧ y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * x[ls.np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∪ gspmx).toMatrix(r, # x) * x = spmx.toMatrix(r, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ⊆ spmxspec: <toplevel>, name:elim-03, seq:⊦ ((((spmx = gs.spmx ∧ gspmx = gs.gspmx) ∧ r = gs.r) ∧ x = gs.x) ∧ y = gs.y) ∧ ghostlspmxf = gs.ghostlspmxf ↔ gs = mkgs(spmx, gspmx, r, x, y, ghostlspmxf), subst:[y, gs, gspmx, ghostlspmxf, spmx, r, x] → [y, gs, gspmx, ghostlspmxf, spmx, r, x] Used terms: y, gs, gspmx, ghostlspmxf, spmx, r, x4lemmaelim-03⊦ ((((spmx = gs.spmx ∧ gspmx = gs.gspmx) ∧ r = gs.r) ∧ x = gs.x) ∧ y = gs.y) ∧ ghostlspmxf = gs.ghostlspmxf ↔ gs = mkgs(spmx, gspmx, r, x, y, ghostlspmxf)5stepHeuristic simplifier applied rule simplifier# y = r, y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(r, # x) * x = spmx.toMatrix(r, # x) * x, ls.val = y[ls.np.r], ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, gs = mkgs(spmx, gspmx, r, x, y, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, r, # x), ls.np ∈ ls.lspmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)), gspmx) ∧ y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * x[ls.np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∪ gspmx).toMatrix(r, # x) * x = spmx.toMatrix(r, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ⊆ spmx6y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, ls.val = y[ls.np.r], ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), ls.np ∈ ls.lspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)), gspmx) ∧ y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * x[ls.np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ⊆ spmx6stepHeuristic elimination applied rule apply elim lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, ls.val = y[ls.np.r], ghostlspmxf(ls.tid) = ls.lspmx, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), ls.np ∈ ls.lspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)), gspmx) ∧ y[ls.np.r, ls.val + ls.lspmx[ls.np] * x[ls.np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(ls.tid; ls.lspmx -- ls.np)) ⊆ spmx7 ⊦ ((tid = ls.tid ∧ lspmx = ls.lspmx) ∧ np = ls.np) ∧ val = ls.val ↔ ls = mkls(tid, lspmx, np, val)8y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, ghostlspmxf(tid) = lspmx, ls = mkls(tid, lspmx, np, val), val = y[np.r], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ lspmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)), gspmx) ∧ y[np.r, val + lspmx[np] * x[np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)) ⊆ spmxspec: <toplevel>, name:elim-02, seq:⊦ ((tid = ls.tid ∧ lspmx = ls.lspmx) ∧ np = ls.np) ∧ val = ls.val ↔ ls = mkls(tid, lspmx, np, val), subst:[val, lspmx, np, tid, ls] → [val, lspmx, np, tid, ls] Used terms: val, lspmx, np, tid, ls7lemmaelim-02 ⊦ ((tid = ls.tid ∧ lspmx = ls.lspmx) ∧ np = ls.np) ∧ val = ls.val ↔ ls = mkls(tid, lspmx, np, val)8stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, ghostlspmxf(tid) = lspmx, ls = mkls(tid, lspmx, np, val), val = y[np.r], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ lspmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)), gspmx) ∧ y[np.r, val + lspmx[np] * x[np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; lspmx -- np)) ⊆ spmx9y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)), gspmx) ∧ y[np.r, y[np.r] + ghostlspmxf(tid)[np] * x[np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ⊆ spmx9stepHeuristic elimination applied rule apply elim lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)), gspmx) ∧ y[np.r, y[np.r] + ghostlspmxf(tid)[np] * x[np.c]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ⊆ spmx10y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, np = r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[np] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ⊆ spmxspec: natpair, name:elim, seq: ⊦ r = np.r ∧ c = np.c ↔ np = r × c, subst:[np, r, c] → [np, r, r0]Used simplifier rules: ⊦ r = np.r ∧ c = np.c ↔ np = r × c; (elim) Used terms: np, r, c10stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, np = r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[np] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- np)) ⊆ spmx11y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx11stepUser applied rule cut formulay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx12y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx132y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmxfma: alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) Used formulas: alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))12stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx13y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx13stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx14y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ⊦ 21y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ 115y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx ⊦ pos: right 114stepUser applied rule apply rewrite lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ⊦ 15 ⊦ disjointp(spmx1, spmx2) → (disjointp(spmx3, spmx4) ↔ (∀ np. (np ∈ spmx1 → ¬ np ∈ spmx2) → np ∈ spmx3 → ¬ np ∈ spmx4))16y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∃ np. ¬((np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → ¬ np ∈ gspmx) → np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) → ¬ np ∈ gspmx) ⊦ spec: tidset-npset, name:disjointp-reduce, seq:⊦ disjointp(spmx1, spmx2) → ( disjointp(spmx3, spmx4) ↔ (∀ np. (np ∈ spmx1 → ¬ np ∈ spmx2) → np ∈ spmx3 → ¬ np ∈ spmx4)), subst:[spmx1, spmx2, spmx3, spmx4] → [U(alltids, ghostlspmxf), gspmx, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf), gspmx, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx15spec-lemmaspec-lemma ⊦ disjointp(spmx1, spmx2) → (disjointp(spmx3, spmx4) ↔ (∀ np. (np ∈ spmx1 → ¬ np ∈ spmx2) → np ∈ spmx3 → ¬ np ∈ spmx4))16stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∃ np. ¬((np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → ¬ np ∈ gspmx) → np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) → ¬ np ∈ gspmx) ⊦ 17y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ gspmx, np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)17stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ gspmx, np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)18y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid = tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)20y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)pos: left 818stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid = tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)19y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ gspmx, np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)19stepHeuristic quantifier closing applied rule exists righty + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ gspmx, np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)pos: right 1 terms: tid0 Used terms: tid020stepHeuristic quantifier closing applied rule exists righty + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)pos: right 1 terms: tid0 Used terms: tid021stepUser applied rule cut formulay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ 22y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ 50y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ fma: U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0) Used formulas: U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)22stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ 23y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ 23stepUser applied rule subst equationy + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ 24U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ pos: left 1, flags: rotate, discard24stepUser applied rule apply lemmaU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ 25⊦ r × c ∈ spmx ∧ c < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + spmx[r × c] * x[c]] + (spmx -- (r × c)).toMatrix(# y, # x) * x = y + spmx.toMatrix(# y, # x) * x26U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ spec: VerifyThis3-sequential, name:main-lemma, seq:⊦ r × c ∈ spmx ∧ c < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + spmx[r × c] * x[c]] + (spmx -- (r × c)).toMatrix(# y, # x) * x = y + spmx.toMatrix(# y, # x) * x, subst:[y, spmx, c, r, x] → [y, U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, r0, r, x] Used terms: y, U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, r0, r, x25spec-lemmaspec-lemma⊦ r × c ∈ spmx ∧ c < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + spmx[r × c] * x[c]] + (spmx -- (r × c)).toMatrix(# y, # x) * x = y + spmx.toMatrix(# y, # x) * x26stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ 27U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]; (s) ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ (spmx1 ∪ spmx2)[np] = (np ∈ spmx1 ⊃ spmx1[np];spmx2[np]); (s)27stepUser applied rule cut formulaU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ 28U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ 34U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∧ r0 < # x ∧ r < # yfma: r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∧ r0 < # x ∧ r < # y Used formulas: r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∧ r0 < # x ∧ r < # y28stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ 29U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ m < n → n ≠ 0; (s) f: ⊦ m < n → n ≠ 0; (forward) from specification nat-basic ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)29stepUser applied rule case distinctionU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ 30U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r < # y, r0 < # x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 32U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r < # y, r0 < # x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ pos: left 1330stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r < # y, r0 < # x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 31U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid1. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid1)Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx2; (ws) ⊦ ¬ a ∈ st → st -- a = st; (s)31stepHeuristic quantifier closing applied rule exists rightU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid1. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid1)pos: right 1 terms: tid Used terms: tid32stepUser applied rule case distinctionU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r < # y, r0 < # x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ 33 y[r, y[r] + gspmx[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ tid0. ¬ r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊦ pos: left 1333stepHeuristic quantifier closing applied rule all left y[r, y[r] + gspmx[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ tid0. ¬ r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊦ pos: left 14 terms: tid Used terms: tid34stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∧ r0 < # x ∧ r < # y35U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yUsed simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)35stepUser applied rule weakeningU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx = (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x ≠ y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ∧ r0 < # x ∧ r < # y → y[r, y[r] + (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ ghostlspmxf(tid)[r × r0];gspmx[r × r0]) * x[r0]] + ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)).toMatrix(# y, # x) * x = y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y36alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yposlist: left 1, left 2, left 1036stepUser applied rule apply rewrite lemmaalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y37 ⊦ okspmx(spmx, r, c) ↔ (∀ np. np ∈ spmx → np.r < r ∧ np.c < c)38alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ np. np ∈ spmx → np.r < # y ∧ np.c < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yspec: VerifyThis3-sequential, name:okspmx-def, seq: ⊦ okspmx(spmx, r, c) ↔ (∀ np. np ∈ spmx → np.r < r ∧ np.c < c), subst:[spmx, r, c] → [spmx, # y, # x], <all paths> Used terms: spmx, # y, # x37spec-lemmaspec-lemma ⊦ okspmx(spmx, r, c) ↔ (∀ np. np ∈ spmx → np.r < r ∧ np.c < c)38stepUser applied rule all leftalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ np. np ∈ spmx → np.r < # y ∧ np.c < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y39alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → (r × r0).r < # y ∧ (r × r0).c < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # ypos: left 7 terms: r × r0 abort: F discard: T computed: T Used terms: r × r039stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → (r × r0).r < # y ∧ (r × r0).c < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y40alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yUsed simplifier rules: ⊦ (n × n0).c = n0; (s) ⊦ (n × n0).r = n; (s)40stepUser applied rule apply rewrite lemmaalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y41 ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a])42alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, ∀ np. np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yspec: store[sparsearray], name:Subset, seq: ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a]), subst:[st1, st2] → [U(alltids, ghostlspmxf), spmx], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf), spmx41spec-lemmaspec-lemma ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a])42stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, ∀ np. np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y43alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, ∀ np. (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yUsed simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)43stepUser applied rule all leftalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, ∀ np. (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y44alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) → r × r0 ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[r × r0] = spmx[r × r0] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # ypos: left 7 terms: r × r0 abort: F discard: T computed: T Used terms: r × r044stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) → r × r0 ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[r × r0] = spmx[r × r0] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y45alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) → r × r0 ∈ spmx ∧ ghostlspmxf(tid)[r × r0] = spmx[r × r0] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # yUsed simplifier rules: ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]; (s)45stepUser applied rule case distinctionalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x, (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) → r × r0 ∈ spmx ∧ ghostlspmxf(tid)[r × r0] = spmx[r × r0] ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y46alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y48ghostlspmxf(tid)[r × r0] = spmx[r × r0], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # ypos: left 746stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y47alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)47stepHeuristic quantifier closing applied rule exists rightalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)pos: right 1 terms: tid Used terms: tid48stepHeuristic simplifier applied rule simplifierghostlspmxf(tid)[r × r0] = spmx[r × r0], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ spmx, gspmx ⊆ spmx, r × r0 ∈ spmx → r < # y ∧ r0 < # x ⊦ (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∧ r0 < # x ∧ r < # y49ghostlspmxf(tid)[r × r0] = spmx[r × r0], r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)Used simplifier rules: ⊦ m < n → n ≠ 0; (s) f: ⊦ m < n → n ≠ 0; (forward) from specification nat-basic49stepHeuristic quantifier closing applied rule exists rightghostlspmxf(tid)[r × r0] = spmx[r × r0], r0 < # x, r < # y, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)pos: right 1 terms: tid Used terms: tid50stepUser applied rule weakeningy + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x ≠ spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ 51U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ poslist: left 1, left 251stepUser applied rule apply rewrite lemmaU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ 52 ⊦ st1 = st2 ↔ (∀ a. (a ∈ st1 ↔ a ∈ st2) ∧ st1[a] = st2[a])53alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∃ np. ¬ ( (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ↔ np ∈ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)) ∧ (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx)[np] = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]) ⊦ spec: store[sparsearray], name:Extension, seq: ⊦ st1 = st2 ↔ (∀ a. (a ∈ st1 ↔ a ∈ st2) ∧ st1[a] = st2[a]), subst:[st1, st2] → [U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx, (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx, (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)52spec-lemmaspec-lemma ⊦ st1 = st2 ↔ (∀ a. (a ∈ st1 ↔ a ∈ st2) ∧ st1[a] = st2[a])53stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∃ np. ¬ ( (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ↔ np ∈ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0)) ∧ (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx)[np] = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]) ⊦ 54alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ (spmx1 ∪ spmx2)[np] = (np ∈ spmx1 ⊃ spmx1[np];spmx2[np]); (s) ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)54stepUser applied rule apply rewrite lemmaalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]55 ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx256alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]spec: tidset-npset, name:in-union, seq: ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx2, subst:[np, spmx1, spmx2] → [np, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx], <all paths> Used terms: np, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx55spec-lemmaspec-lemma ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx256stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]57alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ((∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)57stepUser applied rule cut formulaalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ ((∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]58alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ((∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]88alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ((∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]fma: (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx Used formulas: (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx58stepUser applied rule case distinctionalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ((∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]59alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]pos: right 159stepUser applied rule case distinctionalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]60U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ 81gspmx[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ pos: right 160stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ 61U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 61stepUser applied rule case distinctionU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 62tid = tid0, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 68U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ pos: left 662stepHeuristic simplifier applied rule simplifiertid = tid0, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 63np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ U(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0)))[np] = (∃ tid. np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]; (s) ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s) ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ (spmx1 ∪ spmx2)[np] = (np ∈ spmx1 ⊃ spmx1[np];spmx2[np]); (s) a ≠ b ⊦ (st -- b)[a] = st[a]; (s)63stepUser applied rule apply rewrite lemmanp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ U(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0)))[np] = (∃ tid. np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])64 ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]65np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))(tid0)[np] = (∃ tid. np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])spec: tidset-npset, name:bigunion-get, seq: ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np], subst:[tid, ts, f, np] → [tid0, alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0)), np], <all paths>Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s) Used terms: tid0, alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0)), np64spec-lemmaspec-lemma ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]65stepHeuristic simplifier applied rule simplifiernp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))(tid0)[np] = (∃ tid. np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])66np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid0)[np] = (∃ tid. np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])Used simplifier rules: ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a]; (s) ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)66stepUser applied rule case distinctionnp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid0)[np] = (∃ tid. np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])67ghostlspmxf(tid0)[np] ≠ gspmx[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid. ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊦ pos: right 167stepHeuristic quantifier closing applied rule all leftghostlspmxf(tid0)[np] ≠ gspmx[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ (tid0 = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid. ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid) ⊦ pos: left 12 terms: tid0 Used terms: tid068stepUser applied rule apply rewrite lemmaU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 69 ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a]70np = r × r0, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 75U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx)[np], np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ spec: store[sparsearray], name:Del-at, seq: ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a], subst:[st, b, a] → [U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, r × r0, np], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, r × r0, np69spec-lemmaspec-lemma ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a]70stepHeuristic simplifier applied rule simplifiernp = r × r0, U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 71U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[r × r0] ≠ ∅[r × r0], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))Used simplifier rules: ⊦ (st -- a)[a] = ∅[a]; (s)71stepUser applied rule apply rewrite lemmaU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[r × r0] ≠ ∅[r × r0], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))72 ⊦ ¬ a ∈ st → st[a] = ∅[a]73U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[r × r0] ≠ ∅[r × r0], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))spec: store[sparsearray], name:notmemlookup, seq: ⊦ ¬ a ∈ st → st[a] = ∅[a], subst:[st, a] → [U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), r × r0], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), r × r072spec-lemmaspec-lemma ⊦ ¬ a ∈ st → st[a] = ∅[a]73stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[r × r0] ≠ ∅[r × r0], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))74U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[r × r0] ≠ ∅[r × r0], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)74stepHeuristic quantifier closing applied rule exists rightU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[r × r0] ≠ ∅[r × r0], tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))pos: right 1 terms: tid1 Used terms: tid175stepHeuristic simplifier applied rule simplifierU(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx)[np], np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ 76np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]; (s) ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ (spmx1 ∪ spmx2)[np] = (np ∈ spmx1 ⊃ spmx1[np];spmx2[np]); (s)76stepUser applied rule apply rewrite lemmanp ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])77 ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]78np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0)[np] = (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])spec: tidset-npset, name:bigunion-get, seq: ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np], subst:[ts, f, np, tid] → [alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)), np, tid0], <all paths> Used terms: alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)), np, tid077spec-lemmaspec-lemma ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]78stepHeuristic simplifier applied rule simplifiernp ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0)[np] = (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])79np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid0)[np] = (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])79stepUser applied rule case distinctionnp ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx ⊦ ghostlspmxf(tid0)[np] = (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊃ ghostlspmxf(tid0)[np];gspmx[np])80ghostlspmxf(tid0)[np] ≠ gspmx[np], np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid1. ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊦ pos: right 180stepHeuristic quantifier closing applied rule all leftghostlspmxf(tid0)[np] ≠ gspmx[np], np ≠ r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid1. ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊦ pos: left 13 terms: tid0 Used terms: tid081stepUser applied rule apply rewrite lemmagspmx[np] ≠ ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ 82 ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a]83gspmx[np] ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ spec: store[sparsearray], name:Del-at, seq: ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a], subst:[st, b, a] → [U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, r × r0, np], <all paths>Used simplifier rules: ⊦ (st -- a)[a] = ∅[a]; (s) ⊦ ¬ a ∈ st → st[a] = ∅[a]; (s) Used terms: U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, r × r0, np82spec-lemmaspec-lemma ⊦ a ≠ b → (st -- b)[a] = st[a]83stepHeuristic simplifier applied rule simplifiergspmx[np] ≠ (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ 84np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ gspmx[np] = (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf)[np];gspmx[np])Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ (spmx1 ∪ spmx2)[np] = (np ∈ spmx1 ⊃ spmx1[np];spmx2[np]); (s)84stepUser applied rule case distinctionnp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ gspmx[np] = (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf)[np];gspmx[np])85gspmx[np] ≠ U(alltids, ghostlspmxf)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), ∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊦ pos: right 185stepHeuristic simplifier applied rule simplifiergspmx[np] ≠ U(alltids, ghostlspmxf)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), ∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0) ⊦ 86gspmx[np] ≠ ghostlspmxf(tid0)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ Used simplifier rules: ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]; (s)86stepUser applied rule all leftgspmx[np] ≠ ghostlspmxf(tid0)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ 87gspmx[np] ≠ ghostlspmxf(tid0)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ pos: left 12 terms: tid0 abort: F discard: F computed: F Used terms: tid087stepUser applied rule case distinctiongspmx[np] ≠ ghostlspmxf(tid0)[np], np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ∀ tid0. ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊦ pos: left 11Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)88stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx, ((∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) ∧ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ⊃ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ;gspmx[np] ) = ((U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx) -- (r × r0))[np]89alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmxUsed simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s) ⊦ (spmx1 ∪ spmx2)[np] = (np ∈ spmx1 ⊃ spmx1[np];spmx2[np]); (s) a ≠ b ⊦ (st -- b)[a] = st[a]; (s) ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)89stepUser applied rule apply rewrite lemmaalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx90 ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx291alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∨ np ∈ gspmx)spec: tidset-npset, name:in-union, seq: ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx2, subst:[np, spmx1, spmx2] → [np, U(alltids, ghostlspmxf), gspmx], <all paths> Used terms: np, U(alltids, ghostlspmxf), gspmx90spec-lemmaspec-lemma ⊦ np ∈ spmx1 ∪ spmx2 ↔ np ∈ spmx1 ∨ np ∈ spmx291stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ (np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) ∨ np ∈ gspmx)92alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)92stepUser applied rule case distinctionalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ↔ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)93alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)112np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx, (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))pos: right 193stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, (∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))) ∨ np ∈ gspmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)94alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)94stepUser applied rule case distinctionalldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)95alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)105alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)pos: left 895stepUser applied rule case distinctionalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)96tid = tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)98tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)pos: left 696stepHeuristic simplifier applied rule simplifiertid = tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)97np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)97stepHeuristic quantifier closing applied rule exists rightnp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)pos: right 1 terms: tid0 Used terms: tid098stepUser applied rule apply rewrite lemmatid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)99 ⊦ alldisjointp(ts, f) ↔ (∀ tid1, tid2, np. tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ np ∈ f(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np ∈ f(tid2))100tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np. tid1 ∈ alltids ∧ tid2 ∈ alltids ∧ np ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)spec: tidset-npset, name:alldisjointp-def, seq:⊦ alldisjointp(ts, f) ↔ (∀ tid1, tid2, np. tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ np ∈ f(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np ∈ f(tid2)), subst:[ts, f] → [alltids, ghostlspmxf], <all paths> Used terms: alltids, ghostlspmxf99spec-lemmaspec-lemma ⊦ alldisjointp(ts, f) ↔ (∀ tid1, tid2, np. tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ np ∈ f(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np ∈ f(tid2))100stepHeuristic simplifier applied rule simplifiertid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np. tid1 ∈ alltids ∧ tid2 ∈ alltids ∧ np ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)101tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids;101stepUser applied rule case distinctiontid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)102np = r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ 104tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ ∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)pos: right 1102stepHeuristic simplifier applied rule simplifiernp = r × r0, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ 103tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ 103stepHeuristic quantifier closing applied rule all lefttid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ pos: left 9 terms: tid, tid0, r × r0 Used terms: tid, tid0, r × r0104stepHeuristic quantifier closing applied rule exists righttid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx, ∀ tid1, tid2, np0. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1) ∧ tid1 ≠ tid2 → ¬ np0 ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ ∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)pos: right 1 terms: tid0 Used terms: tid0105stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ np ≠ r × r0 ∧ ((∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx)106alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ 106stepUser applied rule apply rewrite lemmaalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ 107 ⊦ disjointp(sa1, sa2) ↔ (∀ np. np ∈ sa1 → ¬ np ∈ sa2)108alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ np. np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → ¬ np ∈ gspmx ⊦ spec: tidset-npset, name:disjointp-def, seq: ⊦ disjointp(sa1, sa2) ↔ (∀ np. np ∈ sa1 → ¬ np ∈ sa2), subst:[sa1, sa2] → [U(alltids, ghostlspmxf), gspmx], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf), gspmx107spec-lemmaspec-lemma ⊦ disjointp(sa1, sa2) ↔ (∀ np. np ∈ sa1 → ¬ np ∈ sa2)108stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∀ np. np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → ¬ np ∈ gspmx ⊦ 109alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ np. (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) → ¬ np ∈ gspmx ⊦ Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)109stepUser applied rule all leftalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∀ np. (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) → ¬ np ∈ gspmx ⊦ 110alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) → ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ pos: left 8 terms: r × r0 abort: F discard: T computed: T Used terms: r × r0110stepHeuristic simplifier applied rule simplifieralldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ gspmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, (∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)) → ¬ r × r0 ∈ gspmx ⊦ 111alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)111stepHeuristic quantifier closing applied rule exists rightalldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), r × r0 ∈ gspmx, gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx ⊦ ∃ tid0. r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0)pos: right 1 terms: tid Used terms: tid112stepHeuristic simplifier applied rule simplifiernp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx, (∃ tid0. np ∈ ghostlspmxf(tid0)) ∨ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))113np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))113stepUser applied rule exists rightnp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))114np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), ¬ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))pos: right 1 terms: tid0 abort: F discard: F computed: F Used terms: tid0114stepUser applied rule case distinctionnp ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid0), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), ¬ np ∈ gspmx ⊦ ∃ tid0. np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))pos: left 10Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)115stepUser applied rule apply rewrite lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx ⊦ 116 ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a])117y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∃ np. ¬ ( np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]) ⊦ spec: store[sparsearray], name:Subset, seq: ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a]), subst:[st1, st2] → [U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), spmx], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), spmx116spec-lemmaspec-lemma ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a])117stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ∃ np. ¬ ( np ∈ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]) ⊦ 118y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)118stepUser applied rule apply rewrite lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]119 ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a])120y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, ∀ np. np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]spec: store[sparsearray], name:Subset, seq: ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a]), subst:[st1, st2] → [U(alltids, ghostlspmxf), spmx], <all paths> Used terms: U(alltids, ghostlspmxf), spmx119spec-lemmaspec-lemma ⊦ st1 ⊆ st2 ↔ (∀ a. a ∈ st1 → a ∈ st2 ∧ st1[a] = st2[a])120stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, ∀ np. np ∈ U(alltids, ghostlspmxf) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]121y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx, ∀ np0. (∃ tid1. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1)) → np0 ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np0] = spmx[np0] ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids; ⊦ alldisjointp(ts, f) → (np ∈ U(ts, f) ↔ (∃ tid. tid ∈ ts ∧ np ∈ f(tid))); (s)121stepUser applied rule all lefty + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx, ∀ np0. (∃ tid1. np0 ∈ ghostlspmxf(tid1)) → np0 ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np0] = spmx[np0] ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]122y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]pos: left 9 terms: np abort: F discard: T computed: T Used terms: np122stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, (∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1)) → np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np] ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]123y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]127y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), np ∈ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]pos: left 9123stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]124y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid = tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]126y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]pos: left 7124stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid = tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]125y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)125stepHeuristic quantifier closing applied rule exists righty + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, np ≠ r × r0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid0), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid0; ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]pos: right 1 terms: tid0 Used terms: tid0126stepHeuristic quantifier closing applied rule exists righty + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid0, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid0), gspmx ⊆ spmx ⊦ ∃ tid1. np ∈ ghostlspmxf(tid1), np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]pos: right 1 terms: tid0 Used terms: tid0127stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), np ∈ spmx, gspmx ⊆ spmx ⊦ np ∈ spmx ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] = spmx[np]128y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ spmx, np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx ⊦ 128stepUser applied rule apply rewrite lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)))[np] ≠ spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ spmx, np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx ⊦ 129 ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]130y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0)[np] ≠ spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), np ∈ spmx, np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0), gspmx ⊆ spmx ⊦ spec: tidset-npset, name:bigunion-get, seq: ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np], subst:[ts, f, np, tid] → [alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)), np, tid0], <all paths> Used terms: alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0)), np, tid0129spec-lemmaspec-lemma ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]130stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0)[np] ≠ spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), np ∈ spmx, np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid0), gspmx ⊆ spmx ⊦ 131y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))[np] ≠ spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ spmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx ⊦ 131stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, U(alltids, ghostlspmxf)[np] = spmx[np], (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0))[np] ≠ spmx[np], alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ spmx, r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid0 ⊃ ghostlspmxf(tid0) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid0)), gspmx ⊆ spmx ⊦ pos: left 3Used simplifier rules: ⊦ alldisjointp(ts, f) ∧ np ∈ f(tid) → U(ts, f)[np] = f(tid)[np]; (s) a ≠ b ⊦ (st -- b)[a] = st[a]; (s) ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)132stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ¬ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊦ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∧ disjointp(U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))), gspmx) ∧ y[r, y[r] + ghostlspmxf(tid)[r × r0] * x[r0]] + (U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x ∧ U(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊆ spmx133y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊦ 133stepUser applied rule apply rewrite lemmay + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ alldisjointp(alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))) ⊦ 134⊦ alldisjointp(ts, f) → ( alldisjointp(ts, f0) ↔ (∀ tid1, tid2, np. (tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ f(tid1) → ¬ np ∈ f(tid2)) → tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ f0(tid1) → ¬ np ∈ f0(tid2)))135y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∃ tid1, tid2, np. ¬ ( (tid1 ∈ alltids ∧ tid2 ∈ alltids ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ ghostlspmxf(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2)) → tid1 ∈ alltids ∧ tid2 ∈ alltids ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid2)) ⊦ spec: tidset-npset, name:alldisjointp-reduce, seq:⊦ alldisjointp(ts, f) → ( alldisjointp(ts, f0) ↔ (∀ tid1, tid2, np. (tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ f(tid1) → ¬ np ∈ f(tid2)) → tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ f0(tid1) → ¬ np ∈ f0(tid2))), subst:[f, ts, f0] → [ghostlspmxf, alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))], <all paths> Used terms: ghostlspmxf, alltids, ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))134spec-lemmaspec-lemma⊦ alldisjointp(ts, f) → ( alldisjointp(ts, f0) ↔ (∀ tid1, tid2, np. (tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ f(tid1) → ¬ np ∈ f(tid2)) → tid1 ∈ ts ∧ tid2 ∈ ts ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ f0(tid1) → ¬ np ∈ f0(tid2)))135stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, ∃ tid1, tid2, np. ¬ ( (tid1 ∈ alltids ∧ tid2 ∈ alltids ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ ghostlspmxf(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2)) → tid1 ∈ alltids ∧ tid2 ∈ alltids ∧ tid1 ≠ tid2 ∧ np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid; ghostlspmxf(tid) -- (r × r0))(tid2)) ⊦ 136y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid1 ≠ tid2, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid2 ⊃ ghostlspmxf(tid2) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid2)), np ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, np ∈ ghostlspmxf(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ Used simplifier rules: alltids-all: ⊦ tid ∈ alltids;136stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid1 ≠ tid2, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid2 ⊃ ghostlspmxf(tid2) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid2)), np ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, np ∈ ghostlspmxf(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ 137y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid2, tid1 ≠ tid2, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid2), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, np ∈ ghostlspmxf(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ pos: left 7Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)137stepHeuristic simplifier applied rule simplifiery + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid2, tid1 ≠ tid2, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ ghostlspmxf(tid2), U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, gspmx ⊆ spmx, np ∈ ghostlspmxf(tid1) → ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid2) ⊦ 138y + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid2, tid1 ≠ tid2, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid2), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊦ 138stepUser applied rule case distinctiony + (U(alltids, ghostlspmxf) ∪ gspmx).toMatrix(# y, # x) * x = spmx.toMatrix(# y, # x) * x, tid ≠ tid2, tid1 ≠ tid2, alldisjointp(alltids, ghostlspmxf), disjointp(U(alltids, ghostlspmxf), gspmx), okspmx(spmx, # y, # x), np ∈ ghostlspmxf(tid2), r × r0 ∈ ghostlspmxf(tid), np ∈ (tid = tid1 ⊃ ghostlspmxf(tid1) -- (r × r0);ghostlspmxf(tid1)), gspmx ⊆ spmx, U(alltids, ghostlspmxf) ⊆ spmx, ¬ np ∈ ghostlspmxf(tid1) ⊦ pos: left 9Used simplifier rules: ⊦ a ∈ st -- b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ st; (s)